преобразование, переводящее функцию f (t) действительного переменного t (0 < t < ∞), называемую "оригиналом", в функцию
(1)
комплексного переменного
р =σ +iτ. Под Л. п. понимают также не только само преобразование, но и его результат - функцию
F (
p). Интеграл в правой части формулы (1) называется интегралом Лапласа. Он был рассмотрен П.
Лапласом
в ряде работ, которые объединены в его книге "Аналитическая теория вероятностей", вышедшей в 1812. Значительно раньше (в 1737) такие интегралы применял к решению дифференциальных уравнений Л.
Эйлер. При некоторых условиях, указанных ниже, Л. п. определяет функцию f (t) однозначно, в простейших случаях - по формуле обращения:
(2)
Л. п. является линейным функциональным преобразованием. Из числа основных формул Л. п. можно отметить следующие:
,
,
n = 1, 2, ...,
,
t >0.
Л. п. в сочетании с формулой (2) его обращения применяется к интегрированию дифференциальных уравнений. В частности, в силу свойства (1) и линейности, Л. п. решения обыкновенного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами удовлетворяет алгебраическому уравнению 1-й степени и может быть, следовательно, легко найдено. Так, если, например, у'' + у = f (t), y (0) = y' (0) = 0
и Y (p) = L [y], F (p) = L [f],
то L [y''] = p2Y (p)
и p2Y (p) + Y (p) = F (p),
откуда
Многочисленные задачи электротехники, гидродинамики, механики, теплопроводности эффективно решаются методами, использующими Л. п.
Л. п. нашло особенно широкое применение в обосновании операционного исчисления (См.
Операционное исчисление)
, в котором обычно вместо Л. п. F (p) вводится "изображение" оригинала
f (
t) - функция
pF (
p)
. Современная общая теория Л. п. строится на основе интегрирования в смысле Лебега (см.
Интеграл)
. Для применимости Л. п. к функции
f (
t) необходимо, чтобы
f (
t) была интегрируема в смысле Лебега на любом конечном интервале (0, t),
t > 0 и интеграл (1) для неё сходился хотя бы в одной точке
p0 = σ
0 + iτ
0. Если интеграл (1) сходится в точке р
0, то он сходится во всех точках р, для которых Re (
р-р0) > 0. Т. о., если интеграл (1) сходится хотя бы в одной точке плоскости p
0, то либо он сходится во всей плоскости, либо существует такое число σ
с, что при Re
p > σ
c интеграл (1) сходится, а при Re
р < σ
с расходится. Число σ
с называется абсциссой сходимости интеграла Лапласа.
F (
p) -
аналитическая функция (См.
Аналитические функции) в полуплоскости Re
р > σ
с.
Лит.: Диткин В. А. и Кузнецов П. И., Справочник по операционному исчислению. Основы теории и таблицы формул, М. - Л., 1951; Диткин В. А. и Прудников А. П., Интегральные преобразования и операционное исчисление, М., 1961; Дёч Г., Руководство к практическому применению преобразования Лапласа, пер. с нем., М., 1965.
